INTRODUCCIÓN Y GUÍA DE TRABAJO
Bienvenidos al curso Aventuras en geometría: su aplicación a la enseñanza.
1 ¿Por qué la Geometría en Primaria y Secundaria?
Es importante hacerse esta pregunta pues su respuesta nos da la pauta para saber cómo enseñarla. En primer lugar hay dos razones obvias:
1. La geometría forma parte de la cultura básica de cualquier persona, los conceptos geométricos aparecen en la vida cotidiana de forma muy variada: folletos turísticos, comentarios deportivos, manuales de construcción de muebles o utensilios ... Esto sin contar con el hecho de que la Geometría es vital para continuar otros estudios, por ejemplo, arquitectura, ingenierías, física, etc.
2. Hay habilidades geométricas, como la imaginación y visión tridimensional, que se desarrollan en ciertas etapas tempranas de la vida y que después son mucho más difíciles de conseguir. Por ello es de vital importancia el estudio de la Geometría en Primaria y Secundaria. Sin embargo se ha venido apuntando una razón más, incluso algunos autores tienen la audacia de presentarla como la más importante: la Geometría como formadora del razonamiento lógico. La Geometría desde los griegos ha sido el ejemplo paradigmático de sistema deductivo y llevados por esta tradición se ha mantenido en la enseñanza elemental durante siglos. Ahora bien, ¿es la Geometría la disciplina más adecuada para enseñar a pensar en el siglo XXI? Esto nos lleva a preguntarnos sobre ¿qué ventajas tiene la Geometría sobre otras materias para ser la mejor en la enseñanza del razonamiento?
La respuesta también era conocida desde la antigüedad pero, quizás a causa de su obviedad, está quedando en el olvido. La gran ventaja de la Geometría es tener un soporte real inmediato, es decir por una parte la Geometría puede ser considerada como el mejor ejemplo de ciencia deductiva pura y por otro lado también es el mejor ejemplo de ciencia experimental. Para hacer comprender el teorema de Pitágoras que mejor método que dibujar triángulos, medir y comprobar, es decir ¡experimentar! No hay duda de que el paso de lo experimental a lo abstracto es prácticamente inmediato en Geometría e incluso se llega a confundir: se dice que se dibujan rectas, triángulos, pero los dibujos no corresponden fielmente a los conceptos abstractos.
Por supuesto esta facilidad de experimentación es lo que hace a la Geometría el mejor ejemplo de disciplina científica en la enseñanza. Sin embargo en el momento presente, donde las herramientas informáticas pueden ofrecer simulaciones virtuales de prácticamente todo, se podría pensar en otro tipo de ejemplos para llevar a cabo esta formación, pero sin duda nos alejaríamos de la vida cotidiana, de la proximidad y del interés general que posee la Geometría. Lo que sí ocurre es que las herramientas informáticas están viniendo en la ayuda de la enseñanza de la Geometría y la revolución que están causando no ha hecho más que comenzar.
2 Programas de geometría dinámica
Los ejemplos más importantes para la ayuda de la enseñanza de la geometría mediante medios informáticos son los llamados programas de Geometría Dinámica. Proporcionan una ayuda extraordinaria para la experimentación. Ténganse en cuenta las dificultades que ofrecen los dibujos para la experimentación en Geometría: la dificultad manual y práctica para realizarlos, en ocasiones las rectas se cortan fuera del papel o nos gustaría mover algunos elementos que se construyeron en los primeros pasos de una configuración y que así podrían mejorar el dibujo, o bien en ocasiones se llega a conclusiones que no sabemos si se producen por un accidente que corresponde a un caso particular,...Estas y otras muchas dificultades que ocurren en el paso de la Geometría a la realidad (aunque ahora sea "virtual") se consiguen superar mediante los programas de Geometría Dinámica. La aparición de los programas de Geometría dinámica nos ha llevado a enfocar esta parte del curso fundamentalmente alrededor de este tipo de herramientas. La revolución que supone en la enseñanza de la Geometría el uso de este tipo de herramienta es comparable a la de realizar la enseñanza de la Química con la experimentación en un laboratorio. Un programa de Geometría Dinámica permite construcciones de geometría elemental, donde los elementos que se construyen se definen por propiedades cualitativas no mediante ecuaciones y geometría analítica, aunque esta esté detrás, en el funcionamiento interno del programa.
Una vez definida la construcción esta se puede "mover" y deformar pero las condiciones que definen cada elemento permanecen invariables. Normalmente al abrir un programa de Geometría Dinámica aparece una ventana con un área de trabajo que desempeña el papel de pizarra donde se dibujan las construcciones geométricas. Además hay una barra con botones de herramientas y menús que permiten la definición y características de cada elemento. Por ejemplo se pulsa en el botón de recta que pasa por dos puntos y se seleccionan dos puntos. La recta construida es por definición la que pasa por tales puntos y si acompañará en el movimiento de tales puntos. Existen varios programas de Geometría Dinámica que son similares aunque cada uno tiene características especiales que le hacen mejor para algunas cosas:
Cabri, es el más antiguo y por ello tiene la ventaja de tener el mayor número de desarrollos efectuados por usuarios, está incluso incluido en algunas calculadoras gráficas de Texas Instruments,
Cinderella, tiene la ventaja de estar programado en Java, posee potentes algoritmos utilizando geometría proyectiva compleja, posee un comprobador automático de resultados y la posibilidad de realizar construcciones y visualizar en geometría esférica e hiperbólica.
C a R, está también programado en Java, está traducido al castellano y tiene la ventaja de ser de libre uso y gratuito. Se descarga desde la página web:
http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/java/zirkel/index_en.html
GEUP, está también en castellano y programado por un español: Ramón Álvarez Galván. Se puede descargar desde la página www.geup.net. Llamando a la tutoría les podemos facilitar una clave del departamento para su uso en este curso.
Este CD está fundamentalmente compuesto por una batería de ejemplos hechos por Rubén López Pulido y lo que se trata es el alumno realice algo parecido utilizando un programa de Geometría Dinámica. A continuación damos algunas ideas para llevarlo a cabo.
3 Ejercicios.
A continuación ofrecemos una batería de construcciones para ejercitarse con la Geometría
Dinámica o experimental. El objetivo es que elija una de las construcciones siguientes
o bien otra que a usted mismo se le ocurra, la diseñe utilizando un programa de geometría dinámica
y nos la envíe en un disquete o por correo electrónico a: debin_rlpulido@etsin.upm.es
De este modo le evaluaremos el curso.
No nos cabe duda de que el mejor método para usar la Geometría Dinámica en la enseñanza es
apreciar uno mismo la belleza de algunos teoremas clásicos. Estamos seguros de que van a
disfrutar tanto como nosotros mismos lo hicimos al hacer cada uno de los ejercicios. Además
esta batería de ejemplos servirá de repaso de algunos de los teoremas más característicos de la
geometría clásica.
La mayor parte de los enunciados han sido tomados de libro Retorno a la Geometría,
Coxeter-Greitzer, La tortuga de Aquiles, Madrid 1993.
3.1 Puntos y rectas notables del triángulo.
Construcción 1. Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto que
equidista de los tres vértices. Al punto de corte de las tres mediatrices se le llama circuncentro
y es el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices, la circunferencia
circunscrita.
Construcción 2. Las tres bisectrices de los ángulos de un triángulo concurren en un punto. El
punto de intersección se denomina incentro del triángulo y es el centro de la una circunferencia
tangente a los tres lados del triángulo que se llama circunferencia inscrita.
Cada par de bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo y la bisectriz del ángulo
interno restante se cortan en un punto. De este modo se tienen tres puntos que son centros de
tres circunferencias tangentes a un lado y a las rectas que contienen los otros lados. Estas
circunferencias se llaman circunferencias exinscritas.
Construcción 3. Las rectas que contienen a las tres alturas de un triángulo se cortan en un
punto que se llama ortocentro.
Construcción 4. Se llaman medianas de un triángulo a las rectas que unen el punto medio de
cada lado con el vértice opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto, el
baricentro.
Construcción 5. Se denomina triángulo órtico de un triángulo dado al triángulo cuyos vértices
son los pies de las alturas. Las alturas de un triángulo son las bisectrices del triángulo órtico.
Construcción 6. Teorema de Euler. El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de cualquier
triangulo están alineados. La recta que contiene a estos tres puntos se llama recta de Euler.
Construcción 7. Circunferencia de los nueve puntos (Poncelet). Los pies de las alturas de
cualquier triángulo, los puntos medios de los tres lados y los puntos medios de los segmentos
que unen los tres vértices con el ortocentro, están todos en la misma circunferencia. El centro
de la circunferencia de los nueve puntos está sobre la recta de Euler en el punto medio del
ortocentro y el circuncentro.
Construcción 8. Teorema de Simson. Los pies de las perpendiculares desde un punto a los
lados de un triángulo están alineados si y solo si el punto está situado en la circunferencia
circunscrita.
Construcción 9. Los puntos de intersección de las trisectrices (rectas que dividen en tres
partes iguales) de los ángulos de un triángulo son los vértices de un triángulo equilátero.
Construcción 10. Teorema de Napoleón. Sobre los lados de un triángulo cualquiera,
construimos tres triángulos equiláteros exteriores, uno de los lados de cada uno de los
triángulos exteriores coincide con uno de los lados del triángulo dado. Los centros de tales tres
triángulos forman un triángulo equilátero.
3.2 Algunas construcciones con circunferencias.
Construcción 11. Potencia de un punto respecto a una circunferencia. Sea P un punto y C una
circunferencia. Sea r una recta que pasa por P y que corta en A y A’ a la circunferencia C.
Entonces el producto PA×PA’ (potencia de P respecto a C) es independiente de la recta r
elegida. Constrúyase un rectángulo cuyos lados sean iguales a PA y PA’ y obsérvese como el
área del rectángulo no varia al variar la recta r.
Construcción 12. Teorema de la mariposa. Dada una cuerda PQ de una circunferencia, sea M
el punto medio de PQ. Sean AB y CD otras dos cuerdas que pasan las dos por M. Trazamos
ahora las cuerdas AD y BC que cortan en los puntos X e Y respectivamente a la cuerda PQ.
Entonces M es también el punto medio del segmento XY.
3.3 Construcciones sobre cuadriláteros.
Construcción 13. Teorema de Varignon. La figura formada cuando se unen los puntos medios
de los lados adyacentes de de un cuadrilátero es un paralelogramo.
Construcción 14. Los segmentos que unen los puntos medios de pares de lados opuestos de un
cuadrilátero y el segmento que une los puntos medios de las diagonales se cortan en un punto.
Además el punto de corte es el punto medio de los tres segmentos que lo definen.
3.4 Construcción de configuraciones importantes.
Construcción 15. Teorema de Pappus. Sean A, C, E tres puntos sobre una recta r y B, D, F
tres puntos sobre otra recta s. Supongamos que AB corta a DE en L, CD corta a FA en M y EF
corta a BC en N. Entonces los puntos L, M y N están alineados.
Construcción 16. Teorema de Desargues. Sean PQR y P’Q’R’ dos triángulos de modo que las
rectas que unen P con P’, Q con Q’ y R con R’ se cortan en un punto. Se dice que los dos
triángulos están en perspectiva. Se consideran ahora los puntos de corte de las rectas que
contienen a los lados correspondientes, es decir, se construye D el punto de corte de la recta
que une P con Q, PQ abreviadamente, con P’Q’, E el punto de corte de QR con Q’R’ y F el
punto de corte de RP con R’P’. Entonces D, E y F están alineados.
Construcción 17. Teorema de Pascal. Si los seis vértices de un hexágono están situados en
una circunferencia y los tres pares de lados opuestos se cortan, entonces los tres puntos de
intersección están alineados.